Hãy cho một ví dụ về hai chuỗi số không âm mà không sử dụng được tiêu chuẩn so sánh giới hạn (giả sử giới hạn tỉ số của số hạng tổng quát của chúng, K, đã tồn tại).

Ví dụ, hãy xem xét loạt bài sau.

∞

∑

n

=

0

1

3

n

+

n

Để sử dụng Kiểm tra Tích phân, chúng tôi sẽ phải tích hợp

∫

∞

0

1

3

x

+

x

d

x

và chúng tôi thậm chí không chắc liệu có thể làm được điều này không. Đủ tốt cho chúng tôi là có một thử nghiệm khác mà chúng tôi có thể sử dụng trên loạt bài này sẽ dễ sử dụng hơn nhiều.

Trước tiên, hãy lưu ý rằng các điều khoản của loạt phim là tích cực. Như với Kiểm tra Tích phân sẽ quan trọng trong phần này. Tiếp theo, hãy lưu ý rằng chúng ta phải có

x

>

0

vì chúng tôi đang tích hợp trên khoảng thời gian

0

≤

x

<

∞

. Tương tự như vậy, bất kể giá trị của

x

chúng tôi sẽ luôn có

3

x

>

0

. Vì vậy, nếu chúng ta bỏ

x

từ mẫu số, mẫu số sẽ nhỏ hơn và do đó toàn bộ phân số sẽ lớn hơn. Vì thế,

1

3

n

+

n

<

1

3

n

Hiện nay,

∞

∑

n

=

0

1

3

n

là một chuỗi hình học và chúng tôi biết điều đó kể từ khi

|

r

|

=

∣

∣

1

3

∣

∣

<

1

chuỗi sẽ hội tụ và giá trị của nó sẽ là,

∞

∑

n

=

0

1

3

n

=

1

1

-

1

3

=

3

2

Bây giờ, nếu chúng ta quay lại loạt bài ban đầu và viết ra số tiền từng phần mà chúng ta nhận được,

S

n

=

n

∑

Tôi

=

0

1

3

Tôi

+

Tôi

Vì tất cả các số hạng đều là số dương nên việc thêm một số hạng mới sẽ chỉ làm cho số lớn hơn và do đó dãy các tổng riêng phải là một dãy số tăng dần.

S

n

=

n

∑

Tôi

=

0

1

3

Tôi

+

Tôi

<

n

+

1

∑

Tôi

=

0

1

3

Tôi

+

Tôi

=

S

n

+

1

Sau đó,

1

3

n

+

n

<

1

3

n

và bởi vì các thuật ngữ trong hai chuỗi này là số dương nên chúng ta cũng có thể nói rằng,

S

n

=

n

∑

Tôi

=

0

1

3

Tôi

+

Tôi

<

n

∑

Tôi

=

0

1

3

Tôi

<

∞

∑

Tôi

=

0

1

3

n

=

3

2

⇒

S

n

<

3

2

Do đó, dãy các tổng từng phần cũng là một dãy có giới hạn. Sau đó, từ phần thứ hai về dãy chúng ta biết rằng một dãy đơn điệu và có giới hạn cũng là hội tụ.

Vì vậy, chuỗi các tổng từng phần của chuỗi của chúng ta là một chuỗi hội tụ. Điều này có nghĩa là chính bộ truyện,

∞

∑

n

=

0

1

3

n

+

n

step-by-step explanation:

the answer is a.

135 and 80

step-by-step explanation: