Una persona viaja a la ciudad x a la ciudad y de la siguiente manera: la mitad del recorrido lo realiza en tren, la tercera parte del resto del recorrido en bicicleta y el resto en un automóvil. si la distancia recorrida en automóvil fue de 100km, entonces la distancia entre las ciudades

Tenemos que

R > recorrido total
x > viaje en tren > (1/2)*R 
y > viaje en bicicleta(1/2)*(1/3)*R=(1/6)*R
z > viaje en automovil  > (1/2)*(2/3)*R=(2/6)*R=100 km
R=x+y+z
resolviendo nos queda que
(2/6)*R=100 > R=100*6/2=300 km
viaje en tren > (1/2)*R=300/2=150 km
viaje en bicicleta > (1/6)*R=300/6=50 km
( estos dos ultimos calculos no lo estan pidiendo y no hacen falta para contestar la pregunta, simplemente se realizan a manera didactica)

La respuesta  es
La distancia entre las dos ciudades es de 300 km